Algebraic K-Theory, Number Theory, Geometry and Analysis: by Bak A. (ed.)

By Bak A. (ed.)

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Variétés linéaires projectives Rappelons (A, II, p. 136) que toute application linéaire injective f de R n+ l dans R m l (m 2 n) définit, par restriction à R t +,, puis passage aux quotients pour les relations A, et A,, une application injective g de P, dans Pm,dite application linéaire projective. Si rp est l'application canonique de Rn+, sur P,, celle de Rm +, sur Pm,on a g O rp = 4 of, ce qui prouve que g est continue dans P, (1, p. 2 1, corollaire). En particulier, toute transformation linéaire projective de P, (application linéaire projective de P, sur lui-même) est un homéomorphisme de P, sur lui-même.

Montrer que la restriction de g à V,,, est une application continue et ouverte de V,, sur V,, (utiliser l'exerc. 7, en remarquant que si X = U . g(Y), où U' est la matrice obtenue en supprimant dans U les lignes et les colonnes d'indice > q; d'autre part, observer que f est ouverte). En déduire que, si fi est la relation d'équivalence g(X) = g( Y) entre matrices de V,, , l'espace quotient V,, ,/fi est homéomorphe à V,, , 9) Montrer que pour p , ,. c n, V,, ,est connexe, en utilisant l'exerc. 8 et 1, p.

26, exerc. 4). Le (

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